👤
CHOCKOFTWZE
a fost răspuns

Se considera sirul de integrale cu termenul general [tex]I[/tex] indice [tex]n[/tex][tex]=[/tex][tex]\int\limits^1_0 {(1-x^{2})^{n} } \, dx [/tex]. Demonstrati ca sirul este convergent.

Răspuns :

INCOGNITOZE
[tex]x\in[0,1]\Rightarrow 1-x^2 \in[0,1]\Rightarrow (1-x^2)^n\ \textgreater \ (1-x^2)^{n+1} [/tex]
Integram pe [0,1] si obtinem ca sirul [tex](I_n)[/tex] este descrescator.
Aplicam de asemenea proprietatea de monotonie a integraelei pentru inegalitatile
[tex]0\ \leq \ (1-x^2)^n\ \leq \ 1[/tex]
si obtinem ca 
[tex]0\leq I_n\leq 1,\forall n\in N[/tex]
Deci sirul [tex](I_n)[/tex] este si marginit
Conform teoremei lui Weierstrass sirul [tex](I_n)[/tex] este convergent

Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari