2) Suma este formata din primii n termeni a unei progresii aritmetice cu
[tex]a_{1}=1 a_{n}=2n-1[/tex] Formula de calcul pentru o asemenea suma este
[tex]S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})*n}{2}=\frac{(1+2n-1)*n}{2}=n^{2}=625[/tex] deci
[tex]n=\sqrt{625}=25[/tex]
3) 2 vectori sunt colineari daca au aceeasi panta. panta p a unui vector [tex]\vec{v}=a\vec{i}+b\vec{j}[/tex] este [tex]p=\frac{b}{a}[/tex] In cazul nostru cele doua pante sunt:
[tex]p1=\frac{5}{1}=p2=\frac{m}{2}[/tex] de unde rezulta [tex]m=10[/tex]
Atunci avem [tex]|\vec{v}|=\sqrt{2^{2}+m^{2}}=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}[/tex]
3) Cercul este circumscris unui triunghi echilateral. Stim ca in triunghiul echilateral, bisectoarele, mediatoarele si inaltimile sunt exact aceleasi. Centrul O al cercului circumscris este la intersectia mediatoarelor, dar si a inaltimilor, deci stim ca OA este perpendiculara pe BC. Hai sa notam aceasta intersectie cu D, deci AD este inaltimea in triunghi.
OA=1, pentru ca este raza cercului(punctele A,B,C sunt puncte pe cerc)
OB stim ca este raza in cerc, deci si mediatoare, atunci este si bisectoare.
toate unghiurile unui triunghi echilateral sunt egale cu 60 de grade, atunci:
[tex]\angleABC=\angleABD=60 \angleOBD=30[/tex] Mai stim ca triunghiurile OBD si ABD sunt dreptunghice, cu catete OD,BD respectiv AD,BD, atunci avem:
[tex]\ctg{ABD}=\frac{BD}{AD}=\ctg{60}=\frac{\sqrt{3}}{3} \ctg{OBD}=\frac{BD}{OD}=\ctg{30}=\sqrt{3}[/tex]
de aici rezulta ca: [tex]BD=\frac{\sqrt{3}AD}{3}=\sqrt{3}OD[/tex] adica [tex]AD=3OD[/tex]
Atunci
[tex]AD=OA+OD=3OD[/tex] [tex]2OD=OA=1[/tex] [tex]OD=\frac{1}{2}[/tex]de unde reiese
[tex]h=AD=3OD=\frac{3}{2}[/tex] Dar stim ca:
[tex]h=\frac{\sqrt{3}}{2}l=\frac{3}{2}}[/tex] unde l este latura triunghiului echilateral deci
[tex]l=\sqrt{3}[/tex]
In sfarsit aria unui triunghi echilateral este:
[tex]S=\frac{\sqrt{3}}{4}l^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}[/tex]
