👤
THERANOVZE
a fost răspuns

f: (0, infinit) -> R
f(x) = 80x/(x^2+22x+36)

Sa se determine valoarea maxima a functiei.

Răspuns :

VASSYZE
f'(x)=-80(x²-36)/(x²+22x+360)²;
f'(x)=o⇔x=-6, x=6
Semnul derivatei intai e dat de semnul numaratorului : -x²+36
       x                      -∞        -6           0            6                       +∞
............................................................................................................
   f'(x)                       ---------0+++++++++++++0-------------------
.............................................................................................................
     f(x)                                              0 cresc. 40/17 descresc   0

Pe (0,+8) avem x=6 punct de extrem si valoarea maxima a functiei este 40/17
Vezi imaginea VASSY
Aici iti trebuie doua informatii
1) atunci cand f '(x)<0, functia este strict descrescatoare
daca f '(x)=0, atunci x este un punct extrem, iar daca f '(x)>0, atunci functia este crescatoare pe acel domeniu
2) Trebuie sa stii sa faci derivata unei fractii de functii
[tex](\frac{f}{g})'='frac{f'g-fg'}{g^{2}}[/tex]

Sa incepem: facem derivata functiei respective

[tex]f '(x)=\frac{(80x)'*(x^{2}+22x+36)-(80x)*(x^{2}+22x+36)'}{(x^{2}+22x+36)^{2}}[/tex]
Hai sa calculam numai denumitorul deocamdata
[tex](80x)'*(x^{2}+22x+36)-(80x)*(x^{2}+22x+36)'=80(x^{2}+22x+36)-80x(2x+22)=80(x^{2}+22x+36-2x^{2}-22x)=80(36-x)=80(6-x)(6+x)[/tex]
Dupa cum vezi, denumitorul este ridicat la patrat, deci nu o sa conteze cand comparam f '(x) cu 0
Mai mult, stim ca x>0, atunci termenul 6+x este mereu pozitiv
Deci f' '(x) va avea acelasi semn precum ecuatia (6-x) cand x>0
Avem urmatoarele cazuri
x<6, (6-x)>0, atunci f' '(x)>0, f(x) este crescatoare
 x>6, (6-x)<0 atunci f' '(x)<0. f(x) este descrescatoare

Daca f(x) creste pana la f(6) si apoi coboara, inseamna ca f(6) este valoarea maxima a functiei

[tex]f(6)=\frac{80*6}{6*6+22*6+36}=\frac{480}{204}=\frac{40}{17}[/tex] este valoarea maxima










Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari