Notam cu a=BC , b=AC, c=AB lungimile laturilor triunghiului.
Intr-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este egala cu diametrul cercului circumscris, de unde raza cercului circumscris este egala cu jumatate din ipotenuza, adica:
[tex]R=\frac{a}{2}\ \ \ (1)\\
[/tex]
Este de asemenea cunoscuta (foarte usor de demonstrat) formula referitoare la raza cercului iinscris in triunghi:
[tex]r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{bc}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{bc}{a+b+c}\\
\text{Vom demonstra ca }\\
\frac{bc}{a+b+c}=\frac{b+c-a}{2} \\
\text{Egalitatea de mai sus ar fi echivalenta cu:}\\
2bc=(b+c-a)(b+c+a)\Leftrightarrow 2bc=(b+c)^2-a^2\\
\Leftrightarrow 2bc=b^2+c^2-a^2+2bc\ (A)\\
\text{Putem concluziona ca }r=\frac{b+c-a}{2}\ \ \ (2) \\[/tex]
[tex]\text{Din (1) si (2) rezulta }\\
R+r=\frac{a}{2}+\frac{b+c-a}{2}=\frac{b+c}{2}=\frac{AC+AB}{2}\Rightarrow\\
AB+AC=2(R+r)\\
\\
A_{[ABC]}=\frac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}\Rightarrow AC=\frac{2A_{[ABC]}}{AB\cdot \sin A}=\\
=\frac{2\sqrt3}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=2\\
\text{ Observam ca triunghiul este isoscel si are un unghie de 60 grade}\\
\Rightarrow \Delta ABC \text{ echilateral }\Rightarrow BC=2[/tex]
3) [(x+1)/2]=3 ⇒ 3≤(x+1)/2<4 ⇒ 6≤x+1<8 ⇒ A={5,6} are doua elemente.
