Răspuns :
Vom nota ultimul numar impar ca fiind 2n-1
S=1+3+5+...+(2n-1) (1)
O proprietatea a adunarii este comutativitatea deci putem scrie S:
S=2n-1+2n-3+2n-5+...+1 (2)
Daca adunam relatiile (1) si (2) obtinem
2*S=(2n-1+ 1)+ (2n-3 + 3) + ...+ (1+ 2n -1)
2*S=2n+2n+...+2n
Acum trebuie sa vedem de cate ori se repeta 2n. Termenul 2n se repeta de n ori (Poti lua si niste cazuri, sa dai valori lui n ca sa vezi ca se repeta de n ori).
2*S=2n*n
Impartim la 2 si obtinem ca S=[tex] n^{2} [/tex]
In cazul in care avem o suma doar de numere pare, notam ultimul numar 2n si procedam in mod asemanator:
S=2+4+6+...+2n
S=2n+2n-2+...+2
2*S=(2n+2)+ (2n-2+4)+...+(2n+2)
Termenul 2n+2 se repeta tot de n ori=>
2*S=(2n+2)n
dai factor comun pe 2 si obtii
2*S=2*n(n+1)=>S=n(n+1)
In cazul in care ai suma primelor n numere naturale consecutive:
S=1+2+3+...+n
S=n+...+1
2S=n+1+ n+1+...+n+1
S=n(n+1)/2 (Suma lui Gauss)
S=1+3+5+...+(2n-1) (1)
O proprietatea a adunarii este comutativitatea deci putem scrie S:
S=2n-1+2n-3+2n-5+...+1 (2)
Daca adunam relatiile (1) si (2) obtinem
2*S=(2n-1+ 1)+ (2n-3 + 3) + ...+ (1+ 2n -1)
2*S=2n+2n+...+2n
Acum trebuie sa vedem de cate ori se repeta 2n. Termenul 2n se repeta de n ori (Poti lua si niste cazuri, sa dai valori lui n ca sa vezi ca se repeta de n ori).
2*S=2n*n
Impartim la 2 si obtinem ca S=[tex] n^{2} [/tex]
In cazul in care avem o suma doar de numere pare, notam ultimul numar 2n si procedam in mod asemanator:
S=2+4+6+...+2n
S=2n+2n-2+...+2
2*S=(2n+2)+ (2n-2+4)+...+(2n+2)
Termenul 2n+2 se repeta tot de n ori=>
2*S=(2n+2)n
dai factor comun pe 2 si obtii
2*S=2*n(n+1)=>S=n(n+1)
In cazul in care ai suma primelor n numere naturale consecutive:
S=1+2+3+...+n
S=n+...+1
2S=n+1+ n+1+...+n+1
S=n(n+1)/2 (Suma lui Gauss)
FORMULA LUI GAUSS
1. Suma din 1 în 1:
1+ 2+ 3+ ... + 20=
P₁- Se adună primul termen cu ultimul, al 2-lea cu penultimul, până când ajungi la un şir de sume formate din doi termeni:
(1+20)+ (2+ 19)+ (3+ 18)+ (4+17)+ (5+15)+ (6+15)+ (7+14)+ (8+ 13)+ (9+12)+ (10+11)=
P₂: Se obţine o adunare repetată de termeni egali:
21+21+21+ 21+ 21+ 21+ 21+ 21 +21+21=
P₃ Se transformă adunarea repetată de termeni egali în înmulţire:
21· 10=
P₄ Se efectuează:
21·10=210
P₅: Se trage concluzie ... FORMULA LUI GAUSS:
n·( n+ 1): 2=
n = ultimul termen din şir;
n+1= succesorul ;
:2 = suma este dată de 2 termeni, deci nr. de repetare este la jumătate.
2. SUMA LA NR. IMPARE:
1. Suma din 1 în 1:
1+ 2+ 3+ ... + 20=
P₁- Se adună primul termen cu ultimul, al 2-lea cu penultimul, până când ajungi la un şir de sume formate din doi termeni:
(1+20)+ (2+ 19)+ (3+ 18)+ (4+17)+ (5+15)+ (6+15)+ (7+14)+ (8+ 13)+ (9+12)+ (10+11)=
P₂: Se obţine o adunare repetată de termeni egali:
21+21+21+ 21+ 21+ 21+ 21+ 21 +21+21=
P₃ Se transformă adunarea repetată de termeni egali în înmulţire:
21· 10=
P₄ Se efectuează:
21·10=210
P₅: Se trage concluzie ... FORMULA LUI GAUSS:
n·( n+ 1): 2=
n = ultimul termen din şir;
n+1= succesorul ;
:2 = suma este dată de 2 termeni, deci nr. de repetare este la jumătate.
2. SUMA LA NR. IMPARE:
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!