👤
a fost răspuns

Determinati cel mai mare numar natural n, astfel incat ( 1 · 3 · 5 · ... · 100 ) divizibil cu 3^n.

Răspuns :

RAYZENZE

[tex]1\cdot 3\cdot 5\cdot7\cdot...\cdot 99\cdot 100 = 99!!\cdot 100[/tex]

100 nu divizibil cu 3, îl eliminăm din produs.

Astfel avem: 1 · 3 · 5 · 7 · ... · 99 = 99!! = m!!

(!! inseamnă dublu factorial.)

Formula lui Legendre cu m! pentru a afla cea mai mare 3ⁿ putere divizibilă este:

[tex]n = \displaystyle \sum\limits_{k=1}^\infty \left[\dfrac{m}{3^k}\right][/tex]

Iar formula lui Legendre adaptată pentru m!! impar ci nu pentru m! (formula pentru a afla cel mai mare număr natural n astfel încât m!! impar să fie divizibil cu 3ⁿ) se poate deduce ca fiind:

[tex]\displaystyle n =\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left[\dfrac{\dfrac{m}{3^k}+1}{2}\right] =\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left[\dfrac{\dfrac{99}{3^k}+1}{2}\right] = \\ \\ =\left[\dfrac{\dfrac{99}{3}+1}{2}\right] + \left[\dfrac{\dfrac{99}{3^2}+1}{2}\right] +\left[\dfrac{\dfrac{99}{3^3}+1}{2}\right] +\left[\dfrac{\dfrac{99}{3^4}+1}{2}\right]+... = \\ \\\\ = \big[17\big]+\big[6\big]+\big[2,(3)\big] +\big[1,(1)\big] +0+0+... = \\ \\ = 17+6+2+1 = \boxed{26}[/tex]

MODFRIENDLYZE

Nu stiu ce cauta 100=le ala acolo daca sirul e impar... posibil vreo eroare de tipar si trebuia 99

1, 3, 5, 7, 9, ... 100

Multiplii impari ai lui 3 de la 1 la 100 sunt:  (ii scriu sub forma 3*k, k impar)

3*1, 3*3, 3*5, 3*7, 3*9, 3*11, 3*13, 3*15, 3*17, 3*19, 3*21, 3*23, 3*25, 3*27, 3*29, 3*31, 3*33

Deci 17 de 3

Luam acei "k" si ii descompunem sub  forma 3*m, m impar

in sirul 1, 3, 5, 7, 9, ..., 33 avem de forma 3*m numerele:

3*1, 3*3, 3*5, 3*7, 3*9, 3*11

Deci inca 6

Luam acei "m" si ii descompunem sub forma 3*n,  n  impar

Si in sirul 1, 3, 5, 7, 9, 11 ii avem ca multiplii de 3 pe 3*1, 3*3  

Deci inca 2

si in sirul 1, 3 mai avem doar un 3

17+6+2+1=26

Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari