👤
WIZARD48ZE
a fost răspuns

Fie a, b numere reale pozitive. Sa se arate ca:
[tex]a) \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{ \frac{ a^{2}+ b^{2} }{2} } [/tex]
[tex]b) \frac{a+b}{2} - \sqrt{a*b} \geq \sqrt{a*b} - \frac{2*a*b}{a+b} [/tex]
[tex]c) \sqrt{a*b} \leq \frac{ \frac{a+b}{2}+ \frac{2*a*b}{a+b} }{2} \leq \frac{a+b}{2} [/tex]
VA ROG!!!! REPEDE!!!!

Răspuns :

INCOGNITOZE
a) Ridicam la patrat si obtinem:
[tex]\frac{(a+b)^2}{4}\leq\frac{a^2+b^2}{2}\Leftrightarrow(a+b)^2\leq2(a^2+b^2)\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\leq2(a^2+b^2)\\ \Leftrightarrow 2ab\leq a^2+b^2\ ($adevarat, vezi cealalta postare$)\\ [/tex]

b)
[tex]m_a-m_g\geq m_g-m_h\Leftrightarrow\frac{m_a+m_h}{2}\geq m_g\\ $Aplicam inegalitatea dintre media geometrica si aritmetica pentru$\\ m_a,\ m_h: \frac{m_a+m_h}{2}\geq\sqrt{m_a\cdot m_h}=m_g\\[/tex]

c) Prima parte a inegalitatii este:
[tex]m_g\leq \frac{m_a+m_h}{2}[/tex]
pe care am demonstrat-o la punctul precedent.
A doua inegalitate este evidenta deoarece membrul stang (expresia din mijloc) reprezinta media aritmetica dintre media aritmetica si cea armonica a numerelor a si b. Si stim ca media aritmetica a doua numere este mai mica sau egala cu cel mai mare dintre numere respectiv media aritmetica dintre a si b (in cazul nostru).


Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari