👤

Daca x,y sunt numere reale pozitive,sa se arate ca:
(x+y)(1/x+1/y)>sau egal cu 4


Răspuns :

(x+y)(1/x +1/y) ≥ 4 ⇔ (x+y)(x+y) /xy≥ 4 ⇔ (x+y)² / xy ≥ 4

inegalitatea mediilor pentru x, y :

(x+y) / 2 ≥ √xy ≥2xy / (x+y)

⇒ (x+y)/2 ≥ 2xy / (x+y)
⇔(x+y)(x+y) ≥ 4xy
(x+y)² / xy ≥ 4