Explicație pas cu pas:
S = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹
a) puterile lui 2 sunt numerele consecutive de la 0 la 99 ⇒
⇒ suma are 100 de termeni
grupăm termenii câte 4 și dăm factor comun puterea cea mai mică (100 de termeni vor forma 25 de grupe):
S = (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷) + ... + (2⁹⁶ + 2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹)
S = 2⁰ · (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³) + 2⁴ · (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³) + ... + 2⁹⁶ · (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³)
S = (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³) · (2⁰ + 2⁴ + ... 2⁹⁶)
S = (1 + 2 + 4 + 8) · (2⁰ + 2⁴ + ... 2⁹⁶)
S = 15 · (2⁰ + 2⁴ + ... 2⁹⁶)
⇒ S divizibil cu 15
b)
S = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹ | ·2
2 · S = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰ scădem relațiile
2S - S = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰ - 2⁰ - 2¹ - 2² - 2³ - ... - 2⁹⁹
S = 2¹⁰⁰ - 2⁰ = 2¹⁰⁰ - 1
2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰
1024¹⁰ > 1000¹⁰
⇒ 1024¹⁰ - 1 > 1000¹⁰ - 1
1000¹⁰ = (10³)¹⁰ = 10³⁰ are 31 de cifre (1 urmat de 30 de 0)
⇒ 1000¹⁰ - 1 = 10³⁰ - 1 = 99...9 (30 de cifre de 9)
⇒ 1024¹⁰ - 1 > 99...9 (30 de cifre de 9)
⇒ S are cel puțin 30 de cifre
