Răspuns :
a) (a, b)=14
a∙b= 1176
(a, b)=14 inseamna ca cel mai mare divizor comun al lui a si b este 14, deci exista doua nr nat k si p astfel incat:
a=14*k
b=14*p unde (k;p)=1 adica p si k sunt prime intre ele (nu au divizori comuni)
Inlocuim in a∙b= 1176:
14*k*14*p=1176=6*14*14 de unde, impartind prin 14*14:
k*p=6=1*6=2*3 unde (k;p)=1
Deci k = 1 si p=6 sau k=2 si p=3, de unde avem solutiile:
a=14 si b=84 sau a=28 si b=42 si putem inversa valorile lui a si b, adica b=14 si a=84 sau b=28 si a=42.
b) a+b=126 (a, b) =18
La fel ca mai sus:
a=18k
b=18p unde (k;p)=1 Inlocuim in
a+b=126 :
18*k+18*p=126=18*7
18(k+p) = 18*7 impartim ambii membri a 18:
k+p=7 si dam valori lui k de la 0 la 7, obtinand valorile lui p corespunzatoare, de la 7 la 0, deci a si b iau valorile:
a=0 si b=126 sau
a=18 si b=108 sau
a=36 si b=90 sau
a=54 si b=72 sau
a=72 si b=54 sau
a=90 si b=36 sau
a=108 si b=18 sau
a=126 si b=0
c) (a, b)=15 4a+ 5b= 315
La fel ca mai sus:
a=15k
b=15p unde (k;p)=1
Inlocuim in 4a+ 5b= 315
4*15*k+5*15*p=315=21*15 impartim ambii membri la 15:
4*k+5*p=21 Observam ca 21 este impar, 4k este par pentru orice k natural si cum doar par+impar=impar rezulta ca 5*p=impar, dar 5 impar si cum impar*impar=impar rezulta ca p=impar
Observam ca p poate lua valoarea impara maxima 3, deoarece 5*5=25>21, deci analizam p=1 si p=3
Pentru p=1 obtinem:
4k+5=21
4k=16
k=4 deci a=15*4=60 si b=15
Pentru p=3 obtinem: 4k+15=21
4k=6
2k=3 care nu convine pentru k nar nat
Deci solutia finala este: a=60 si b=15
(a, b)=14 inseamna ca cel mai mare divizor comun al lui a si b este 14, deci exista doua nr nat k si p astfel incat:
a=14*k
b=14*p unde (k;p)=1 adica p si k sunt prime intre ele (nu au divizori comuni)
Inlocuim in a∙b= 1176:
14*k*14*p=1176=6*14*14 de unde, impartind prin 14*14:
k*p=6=1*6=2*3 unde (k;p)=1
Deci k = 1 si p=6 sau k=2 si p=3, de unde avem solutiile:
a=14 si b=84 sau a=28 si b=42 si putem inversa valorile lui a si b, adica b=14 si a=84 sau b=28 si a=42.
b) a+b=126 (a, b) =18
La fel ca mai sus:
a=18k
b=18p unde (k;p)=1 Inlocuim in
a+b=126 :
18*k+18*p=126=18*7
18(k+p) = 18*7 impartim ambii membri a 18:
k+p=7 si dam valori lui k de la 0 la 7, obtinand valorile lui p corespunzatoare, de la 7 la 0, deci a si b iau valorile:
a=0 si b=126 sau
a=18 si b=108 sau
a=36 si b=90 sau
a=54 si b=72 sau
a=72 si b=54 sau
a=90 si b=36 sau
a=108 si b=18 sau
a=126 si b=0
c) (a, b)=15 4a+ 5b= 315
La fel ca mai sus:
a=15k
b=15p unde (k;p)=1
Inlocuim in 4a+ 5b= 315
4*15*k+5*15*p=315=21*15 impartim ambii membri la 15:
4*k+5*p=21 Observam ca 21 este impar, 4k este par pentru orice k natural si cum doar par+impar=impar rezulta ca 5*p=impar, dar 5 impar si cum impar*impar=impar rezulta ca p=impar
Observam ca p poate lua valoarea impara maxima 3, deoarece 5*5=25>21, deci analizam p=1 si p=3
Pentru p=1 obtinem:
4k+5=21
4k=16
k=4 deci a=15*4=60 si b=15
Pentru p=3 obtinem: 4k+15=21
4k=6
2k=3 care nu convine pentru k nar nat
Deci solutia finala este: a=60 si b=15
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!