Răspuns :
Vom analiza urmatoarele 2 cazuri:
1) Numarul mai mare NU este multiplul numarului mai mic
2) Numarul mai mare este multiplul numarului mai mic adica [a,b]=a (nu conteaza daca e a sau b, rezolvarea e aceeasi din cauza comutativitatii)
Cazul 1)
Vom presupune ca x este cel mai mic divizor al numerelor a si b.
Asta inseamna ca:
[tex]a=k\cdot x \\ b=p\cdot x \\ a,b,k,p,x\in N^*[/tex]
Cum numarul mai mare dintre ele nu este multiplul celuilalt, adica
[tex][a,b]\notin \{a,b\}[/tex]
Atunci avem relatia
[tex][a,b]=k\cdot p\cdot x[/tex]
Din problema stim ca
[a,b]-(a,b)=34 asta inseamna ca
[tex]k\cdot p\cdot x-x=34 \\ x(k\cdot p-1)=34 \\ \hbox{Cum x,k,p sunt numere intregi inseamna ca x este divizor al lui 34} \\ \hbox{si } k\cdot p-1\ \hbox{este divizor al lui 34.}[/tex]
De mentionat, sunt divizori pereche ai lui 34.
Avem urmatoarele sanse:
x=34 si kp-1=1
sau
x=1 si kp-1=34
sau
x=17 si kp-1=2
sau
x=2 si kp-1=17
Subcazul a) x=34 si kp=2 deci fie k=1 si p=2, fie k=2 si p=1
Inseamna ca numerele sunt 68 si 34
Desi teoretic solutia aceasta ar trebui sa fie eliminata pentru ca numarul mai mare este multiplul numarului mai mic, o pastram pentru ca ea verifica cerinta.
Subcazul b) x=1 si kp=35 Deci fie avem k=1 si p=35, fie k=35 si p=1, fie k=5 si p=7, fie k=7 si p=5.
Inseamna ca avem perechile de numere (1,35) si (5,7).
Solutia verifica cerinta.
Subcazul c) x=17 si kp=3 deci fie k=1 si p=3, fie k=3 si p=1.
Inseamna ca numerele sunt 17 si 51.
Desi teoretic solutia aceasta ar trebui sa fie eliminata pentru ca numarul mai mare este multiplul numarului mai mic, o pastram pentru ca ea verifica cerinta.
Subcazul d) x=2 si kp=18 deci fie k=1 si p=18, fie k=18 si p=1, fie k=3 si p=6, fie k=6 si p=3, fie k=9 si p=2 fie k=2 si p = 9.
Inseamna ca perechile de numere sunt: (2,36) (6, 12 -> nu verifica) (4,18)
Raman perechile (2,36) si (4,18)
Din cazul 1) am obtinut solutiile (34,68) (1,35) (5,7) (17,51) (2,36) si (4,18).
Cazul 2)
Vom presupune ca a este multiplul lui b.
Deci
[tex]a=n\cdot b;\ n\in N[/tex]
Deci (a,b)=b si [a,b]=a
Atunci a-b=34
nb-b=34
b(n-1)=34
Din nou, si b si n-1 sunt divizori pereche ai lui 34.
Avem
b=1 si n-1=34
b=34 si n-1=1
b=2 si n-1=17
b=17 si n-1=2
Adica
b=1, n=35 si avem perechea (1,35)
b=34, n=2 deci avem perechea (34,68)
b=2, n=18 deci avem perechea (2,36)
b=17, n=3 deci avem perechea (17,51)
Solutiile de la acest caz se regasesc in cazul 1.
Raspuns: perechile de numere cerute sunt: (34,68) (1,35) (5,7) (17,51) (2,36) si (4,18).
1) Numarul mai mare NU este multiplul numarului mai mic
2) Numarul mai mare este multiplul numarului mai mic adica [a,b]=a (nu conteaza daca e a sau b, rezolvarea e aceeasi din cauza comutativitatii)
Cazul 1)
Vom presupune ca x este cel mai mic divizor al numerelor a si b.
Asta inseamna ca:
[tex]a=k\cdot x \\ b=p\cdot x \\ a,b,k,p,x\in N^*[/tex]
Cum numarul mai mare dintre ele nu este multiplul celuilalt, adica
[tex][a,b]\notin \{a,b\}[/tex]
Atunci avem relatia
[tex][a,b]=k\cdot p\cdot x[/tex]
Din problema stim ca
[a,b]-(a,b)=34 asta inseamna ca
[tex]k\cdot p\cdot x-x=34 \\ x(k\cdot p-1)=34 \\ \hbox{Cum x,k,p sunt numere intregi inseamna ca x este divizor al lui 34} \\ \hbox{si } k\cdot p-1\ \hbox{este divizor al lui 34.}[/tex]
De mentionat, sunt divizori pereche ai lui 34.
Avem urmatoarele sanse:
x=34 si kp-1=1
sau
x=1 si kp-1=34
sau
x=17 si kp-1=2
sau
x=2 si kp-1=17
Subcazul a) x=34 si kp=2 deci fie k=1 si p=2, fie k=2 si p=1
Inseamna ca numerele sunt 68 si 34
Desi teoretic solutia aceasta ar trebui sa fie eliminata pentru ca numarul mai mare este multiplul numarului mai mic, o pastram pentru ca ea verifica cerinta.
Subcazul b) x=1 si kp=35 Deci fie avem k=1 si p=35, fie k=35 si p=1, fie k=5 si p=7, fie k=7 si p=5.
Inseamna ca avem perechile de numere (1,35) si (5,7).
Solutia verifica cerinta.
Subcazul c) x=17 si kp=3 deci fie k=1 si p=3, fie k=3 si p=1.
Inseamna ca numerele sunt 17 si 51.
Desi teoretic solutia aceasta ar trebui sa fie eliminata pentru ca numarul mai mare este multiplul numarului mai mic, o pastram pentru ca ea verifica cerinta.
Subcazul d) x=2 si kp=18 deci fie k=1 si p=18, fie k=18 si p=1, fie k=3 si p=6, fie k=6 si p=3, fie k=9 si p=2 fie k=2 si p = 9.
Inseamna ca perechile de numere sunt: (2,36) (6, 12 -> nu verifica) (4,18)
Raman perechile (2,36) si (4,18)
Din cazul 1) am obtinut solutiile (34,68) (1,35) (5,7) (17,51) (2,36) si (4,18).
Cazul 2)
Vom presupune ca a este multiplul lui b.
Deci
[tex]a=n\cdot b;\ n\in N[/tex]
Deci (a,b)=b si [a,b]=a
Atunci a-b=34
nb-b=34
b(n-1)=34
Din nou, si b si n-1 sunt divizori pereche ai lui 34.
Avem
b=1 si n-1=34
b=34 si n-1=1
b=2 si n-1=17
b=17 si n-1=2
Adica
b=1, n=35 si avem perechea (1,35)
b=34, n=2 deci avem perechea (34,68)
b=2, n=18 deci avem perechea (2,36)
b=17, n=3 deci avem perechea (17,51)
Solutiile de la acest caz se regasesc in cazul 1.
Raspuns: perechile de numere cerute sunt: (34,68) (1,35) (5,7) (17,51) (2,36) si (4,18).
[tex]Se~stie~ca~cel~mai~mare~divizor~comun~a~doua~numere~naturale \\ \\ il~divide~pe~cel~mai~mic~multiplu~comun~al~acelor~numere. \\ \\ (a,b)~|~[a,b]. \\ \\ De~asemenea~este~cunoscuta~relatia ~\boxed{(a,b) \cdot [a,b]=ab}~. \\ \\ Asadar~putem~considera~k \in N~a.i.~[a,b]=k \cdot (a,b). \\ \\ Notez~in~continuare~(a,b)=d \Rightarrow [a,b]=dk. \\ \\ Rescriem~relatia~initiala: \\ \\ dk-d=34 \Leftrightarrow d(k-1)=34.[/tex]
[tex]Deci~d \in D_{34}= \{1;2;17;34\}. \\ \\ Cazul~1:~d=1. \\ \\ Obtinem~k-1=34 \Rightarrow k=35. \\ \\ Deci~trebuie~sa~gasim~numerele~naturale~a~si~b~cu~proprietatea~ca \\ \\ (a,b)=1~si~[a,b]=35. \\ \\ (a,b) \cdot [a,b]=a \cdot b \Leftrightarrow ab=35. \\ \\ Rezulta~ \boxed{(a;b) \in \{(1;35),(5;7),(7;5),(35;1)\}}.[/tex]
[tex]Cazul~2:~d=2. \\ \\ Obtinem~k-1=17 \Rightarrow k=18. \\ \\ Deci~(a,b)=2~si~[a,b]=36. \\ \\ (a,b) \cdot [a,b]=ab \Leftrightarrow ab=72. \\ \\ Rezulta~\boxed{(a;b) \in \{(2;36),(4;18),(18;4),(36;2) \}}.[/tex]
[tex]Cazul~3:~d=17. \\ \\ Obtinem:~k=3 \Rightarrow [a,b]=51. \\ \\ Deci~(a,b)=17~si~[a,b]=51.~(ab=867) \\ \\ Rezulta~ \boxed{(a;b) \in \{(17;51),(51;17) \}}.[/tex]
[tex]Cazul~4:~d=34. \\ \\ Obtinem~[a,b]=68. \\ \\ Deci~(a,b)=34~si~[a,b]=68.~(ab=2312). \\ \\ Rezulta~\boxed{(a;b) \in \{(34;68),(68;34)\}}.[/tex]
[tex]Solutiile~sunt~in~chenarele~de~mai~sus.[/tex]
[tex]Deci~d \in D_{34}= \{1;2;17;34\}. \\ \\ Cazul~1:~d=1. \\ \\ Obtinem~k-1=34 \Rightarrow k=35. \\ \\ Deci~trebuie~sa~gasim~numerele~naturale~a~si~b~cu~proprietatea~ca \\ \\ (a,b)=1~si~[a,b]=35. \\ \\ (a,b) \cdot [a,b]=a \cdot b \Leftrightarrow ab=35. \\ \\ Rezulta~ \boxed{(a;b) \in \{(1;35),(5;7),(7;5),(35;1)\}}.[/tex]
[tex]Cazul~2:~d=2. \\ \\ Obtinem~k-1=17 \Rightarrow k=18. \\ \\ Deci~(a,b)=2~si~[a,b]=36. \\ \\ (a,b) \cdot [a,b]=ab \Leftrightarrow ab=72. \\ \\ Rezulta~\boxed{(a;b) \in \{(2;36),(4;18),(18;4),(36;2) \}}.[/tex]
[tex]Cazul~3:~d=17. \\ \\ Obtinem:~k=3 \Rightarrow [a,b]=51. \\ \\ Deci~(a,b)=17~si~[a,b]=51.~(ab=867) \\ \\ Rezulta~ \boxed{(a;b) \in \{(17;51),(51;17) \}}.[/tex]
[tex]Cazul~4:~d=34. \\ \\ Obtinem~[a,b]=68. \\ \\ Deci~(a,b)=34~si~[a,b]=68.~(ab=2312). \\ \\ Rezulta~\boxed{(a;b) \in \{(34;68),(68;34)\}}.[/tex]
[tex]Solutiile~sunt~in~chenarele~de~mai~sus.[/tex]
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!