Răspuns :
f= x^4+x^2+1 ; f'=6x
g=x^2; g'=2x
S-integrala nu prea stiu sa folosesc semnele pe site, sunt nou.
S de la 0 la 3 (f ' * g - f * g ')/g^2 dx .
Dupa calcule si simplificari vei ajunge la
S de la 0 la 3 (2x^5 +4x^3 -2x)/x^4 dx . Cand ajungi la forma asta imparti ce e sus la ce e jos ca pe un polinom . Dupa pui rezultatul in integrala si faci o integrala simpla :) . Nu prea am explicat bine dar nu sunt profesor si din pacate nu stiu sa folosesc semnele ai fi inteles mai bine daca iti scriam pe foaie.
g=x^2; g'=2x
S-integrala nu prea stiu sa folosesc semnele pe site, sunt nou.
S de la 0 la 3 (f ' * g - f * g ')/g^2 dx .
Dupa calcule si simplificari vei ajunge la
S de la 0 la 3 (2x^5 +4x^3 -2x)/x^4 dx . Cand ajungi la forma asta imparti ce e sus la ce e jos ca pe un polinom . Dupa pui rezultatul in integrala si faci o integrala simpla :) . Nu prea am explicat bine dar nu sunt profesor si din pacate nu stiu sa folosesc semnele ai fi inteles mai bine daca iti scriam pe foaie.
[tex] \frac{x^2}{x^4+x^2+1} = \frac{x^2}{(x^2+1)^2-x^2}= \frac{x^2}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2-x+1} + \frac{Cx+D}{x^2+x+1} [/tex]
Daca identificam coeficientii si rezolvam sistemul de ecuatii obtinem:A=1/2,B=0,C=-1/2,D=0.
[tex]I= \frac{1}{2} \int\limits^3_0 {\frac{x}{x^2-x+1}} \, dx - \frac{1}{2} \int\limits^3_0 {\frac{x}{x^2+x+1}} \, dx \\ I= \frac{1}{4} \int\limits^3_0 {\frac{2x-1+1}{x^2-x+1}} \, dx - \frac{1}{4} \int\limits^3_0 {\frac{2x+1-1}{x^2+x+1}} \, dx \\ I= \frac{1}{4} ( \int\limits^3_0 { \frac{2x-1}{x^2-x+1} } \, dx + \int\limits^3_0 { \frac{1}{x^2-x+1} } \, dx - \int\limits^3_0 { \frac{2x+1}{x^2+x+1} } \, dx+\int\limits^3_0 { \frac{1}{x^2+x+1} } \, dx)\\ [/tex]
[tex]I= \frac{1}{4} ( \int\limits^7_1 { \frac{1}{t} } \, dt+ \int\limits^3_0 { \frac{1}{(x- \frac{1}{2})^2+( \frac{\sqrt{3}}{2} )^2 } } \, dx - \int\limits^{13}_1 {\frac{1}{t} \, dt + \int\limits^3_0 {\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}} \, dx )[/tex]
In final obtinem:
[tex]I=\frac{1}{4}[ln7+\frac{2}{\sqrt{3}}(arctg\frac{5}{\sqrt{3}}+arctg\frac{1}{\sqrt{3}})-ln13+\frac{2}{\sqrt{3}}(arctg\frac{7}{\sqrt{3}}-arctg\frac{1}{\sqrt3}}]}[/tex]
[tex]I=\frac{1}{4}[ln\frac{7}{13}+\frac{2}{\sqrt{3}}(arctg\frac{5}{\sqrt{3}}+arctg\frac{7}{\sqrt{3}})][/tex]
[tex]I\approx0,585852[/tex]
Daca identificam coeficientii si rezolvam sistemul de ecuatii obtinem:A=1/2,B=0,C=-1/2,D=0.
[tex]I= \frac{1}{2} \int\limits^3_0 {\frac{x}{x^2-x+1}} \, dx - \frac{1}{2} \int\limits^3_0 {\frac{x}{x^2+x+1}} \, dx \\ I= \frac{1}{4} \int\limits^3_0 {\frac{2x-1+1}{x^2-x+1}} \, dx - \frac{1}{4} \int\limits^3_0 {\frac{2x+1-1}{x^2+x+1}} \, dx \\ I= \frac{1}{4} ( \int\limits^3_0 { \frac{2x-1}{x^2-x+1} } \, dx + \int\limits^3_0 { \frac{1}{x^2-x+1} } \, dx - \int\limits^3_0 { \frac{2x+1}{x^2+x+1} } \, dx+\int\limits^3_0 { \frac{1}{x^2+x+1} } \, dx)\\ [/tex]
[tex]I= \frac{1}{4} ( \int\limits^7_1 { \frac{1}{t} } \, dt+ \int\limits^3_0 { \frac{1}{(x- \frac{1}{2})^2+( \frac{\sqrt{3}}{2} )^2 } } \, dx - \int\limits^{13}_1 {\frac{1}{t} \, dt + \int\limits^3_0 {\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}} \, dx )[/tex]
In final obtinem:
[tex]I=\frac{1}{4}[ln7+\frac{2}{\sqrt{3}}(arctg\frac{5}{\sqrt{3}}+arctg\frac{1}{\sqrt{3}})-ln13+\frac{2}{\sqrt{3}}(arctg\frac{7}{\sqrt{3}}-arctg\frac{1}{\sqrt3}}]}[/tex]
[tex]I=\frac{1}{4}[ln\frac{7}{13}+\frac{2}{\sqrt{3}}(arctg\frac{5}{\sqrt{3}}+arctg\frac{7}{\sqrt{3}})][/tex]
[tex]I\approx0,585852[/tex]
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!