Răspuns:
Știm din ipoteză că NFQD are două laturi paralele (NF și DQ). Dacă arătăm că ele sunt și congruente (NF ≡ DQ) ar rezulta că NFQD este paralelogram. Cum diagonalele sunt perpendiculare (DE ⊥ NQ) ar rezulta că NFQD este romb.
Analizăm ΔDEQ și ΔFEN:
DE ⊥ NQ ⇒ ΔDEQ și ΔFEN sunt dreptunghice în E
DQ║NF ⇒ ∡QDE ≡ ∡ NFE (alt. int.)
pentru congruență ne mai lipsește un element, catetele DE și FE
Analizăm ΔDEN și ΔFEN:
DE ⊥ NQ ⇒ ΔDEN și ΔFEN sunt dreptunghice în E
∡DNE ≡ ∡ FNE (NQ bisectoare)
NE latură comună
⇒ (C.U.) ΔDEN ≡ ΔFEN
⇒ DE ≡ FE
⇒ (C.U.) ΔDEQ ≡ ΔFEN
⇒ DQ ≡ NF
cum DQ║NF ⇒ NFQD paralelogram
știm că DF ⊥ NQ ⇒ NFQD romb
Explicații suplimentare:
Pentru a demonstra că un patrulater convex este romb avem câteva variante de abordare:
1. arătăm că are toate laturile congruente
2. arătăm că este un paralelogram în care:
a) două laturi alăturate sunt congruente
b) diagonalele sunt perpendiculare
c) o diagonală este bisectoarea unui unghi
Pentru a demonstra că un patrulater convex este paralelogram avem următoarele variante de abordare:
1. arătăm că laturile opuse sunt paralele două câte două
2. arătăm că laturile opuse sunt congruente două câte două
3. arătăm că două laturi opuse sunt paralele și congruente
4. arătăm că diagonalele se înjumătățesc
5. arătăm că unghiurile opuse sunt congruente două câte două
6. arătăm că oricare două unghiurile alăturate sunt suplementare
