👤

Rezolvati in multimea numerelor naturale ecuatia (x+1)*(y+1)=x*y*z

Răspuns :

[tex](x+1)(y+1)=xyz <=> xy + x + y + 1 = xyz\\ xy+x+y-xyz=-1\\ xyz-xy-x-y=1\\ xy(z-1)-x-y=1\\ x[y(z-1)-1]-y=1\\\\ I.\: x[y(z-1)-1]=1\:si\:y=0\\ =>x*(-1)=1 => x = -1 \left \{ {{y=0} \atop {x=-1}} \atop {z \in N \right \\\\ II. y = -1\:si\:x[y(z-1)-1]=0\\ => x(-z+1-1) = 0 => -xz = 0 \\ \left \{ {{y=-1} \atop {x=0}} \atop {z \in N \right sau \left \{ {{y=-1} \atop {x \in N}} \atop {z = 0 \right \\\\[/tex]

Acum observ, ca se poate generaliza. Ave diferenta a doua numere care ne da 1. Cand se intampla asta ? Cand sunt 2 numere consecutive iar primul este mai mare cu o unitate decat al doilea. Astfel, putem scrie mai bine si mai corect din punct de vedere matematic ca:

[tex] \left \{ {{x[y(z-1)-1] = n+1} \atop {y=n}} \right. => x[n(z-1)-1]=n+1\\ x(zn-n-1)=n+1\\ x = \frac{n+1}{zn-n-1} \:unde \:x, y, z \in N, \: si\:y>=1 [/tex]

Asta e o forma generalizata a ecuatiei, insa eu am gasit solutii doar cum am scris mai sus, cu x=-1 sau cu y=-1. z nu conteaza ce valoare are, deoarece urmarim ca produsul x*y*z sa fie 0, deci orice valoare naturala ar avea, tot aia ar fi. Succes !

Mai simplu!

1. Daca x = 0 => y =0 si reciproc, z poate fi orice nr. natural!

2. Pp. ca x si y sunt nr. naturale nenule => z = 1 + 1/x + 1/y + 1/(x*y);
pentru ca z sa fie natural, din ratiuni de divizibilitate  => x = 1 si y = 1 => z = 4;

Bafta!
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari