Răspuns :
1) [tex](x_*y)_*z=(\sqrt[3]{x^3+y^3})_*z=\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x^3+y^3})^3+z^3}=\sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}[/tex] (1)
[tex]x_*(y_*z)=x_*(\sqrt[3]{y^3+z^3})=\sqrt[3]{x^3+(\sqrt[3]{y^3+z^3})^3}=\sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}, [/tex] (2)
Din (1) și (2) rezultă că legea este asociativă.
Observație: Era suficient după ce ai calculat (1) să spui că deoarece expresia (1) este invariantă la permutări circulare, legea este asociativă și nu mai calculai (2).
2) [tex]x\circ x^2=64\Rightarrow 2^{x+x^2}=2^6\Rightarrow x^2+x-6=0\Rightarrow x\in\{-3; 2\}[/tex]
3) [tex](x\circ y)\circ z=(ax+by-1)\circ z=a(ax+by-1)+bz-1=[/tex]
[tex]=a^2x+aby+bz-a-1[/tex].
[tex]x\circ (y\circ z)=x\circ(ay+bz-1)=ax+b(ay+bz-1)-1=[/tex]
[tex]=ax+aby+b^2z-b-1[/tex]
Din egalarea coeficienților celor două rezultate se obțin următoarele egalități:
a²=a
ab=ab
b=b²
-a-1=-b-1
Din ultima egalitate avem a=b, iar din prima (ca și din a treia ) obținem a=0 sau a = 1.
Deci avem variantele: a = b = 0
a = b= 1
[tex]x_*(y_*z)=x_*(\sqrt[3]{y^3+z^3})=\sqrt[3]{x^3+(\sqrt[3]{y^3+z^3})^3}=\sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}, [/tex] (2)
Din (1) și (2) rezultă că legea este asociativă.
Observație: Era suficient după ce ai calculat (1) să spui că deoarece expresia (1) este invariantă la permutări circulare, legea este asociativă și nu mai calculai (2).
2) [tex]x\circ x^2=64\Rightarrow 2^{x+x^2}=2^6\Rightarrow x^2+x-6=0\Rightarrow x\in\{-3; 2\}[/tex]
3) [tex](x\circ y)\circ z=(ax+by-1)\circ z=a(ax+by-1)+bz-1=[/tex]
[tex]=a^2x+aby+bz-a-1[/tex].
[tex]x\circ (y\circ z)=x\circ(ay+bz-1)=ax+b(ay+bz-1)-1=[/tex]
[tex]=ax+aby+b^2z-b-1[/tex]
Din egalarea coeficienților celor două rezultate se obțin următoarele egalități:
a²=a
ab=ab
b=b²
-a-1=-b-1
Din ultima egalitate avem a=b, iar din prima (ca și din a treia ) obținem a=0 sau a = 1.
Deci avem variantele: a = b = 0
a = b= 1
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!