👤
GABRI18ZE
a fost răspuns

Calculati:[tex] \sqrt{ \frac{1}{1*2*3}+ \frac{1}{2*3*4}+ \frac{1}{3*4*5}+...+ \frac{1}{48*49*50} } [/tex]

Răspuns :

Se arata mai întâi că:

[tex]\dfrac{1}{(n-1)n(n+1)}=\dfrac12\cdot\left(\dfrac{1}{(n-1)n}-\dfrac{1}{n(n+1)}\right)[/tex]  (se aduce la acela;i numitor ]n dreapta, ;i se ob'ine egalitatea.

Se folosește  scrie apoi egalitatea aceasta pentru n=2, 3, ..., 49 și se obține:

[tex]\sqrt{\dfrac12\cdot\left(\dfrac{1}{1\cdot2}-\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot3}-\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{48\cdot49}-\dfrac{1}{49\cdot50}\right)}=[/tex]

[tex]\sqrt{\dfrac12\cdot\left(\dfrac12-\dfrac{1}{49\cdot50}\right)}=...[/tex] mai departe cred ca nu sunt probleme.

Trebuie să obții [tex]\dfrac{3\sqrt{34}}{35}[/tex]
GETATOTANZE
trei numere consecutive : 
                     1 / n· ( n +1) ·( n +2)  = 1 /2n  -  1 /( n +1)  + 1 /2·( n +2) 
n =1           1 / 1 · 2 ·3 =       1 /2·1    - 1 /2   + 1 / 2·3
n= 2           1 / 2 · 3 ·4 =      1 / 2 · 2  - 1 /3    + 1 / 2·4
n=3             1 / 3 · 4·5  =    1 / 2·  3   - 1 / 4   + 1 / 2 ·5 
n= 4             1 / 4 ·5·6  =    1 /  2 ·4   -  1 /5   + 1 / 2 · 6 
.................................................................................
n = 46           1 / 46·47·48 = 1 / 2·46  - 1 / 47  + 1 / 2· 48
n =47             1 / 47 ·48·49 = 1 / 2·47  -1 / 48  + 1 / 2· 49 
n= 48             1 / 48 ·49 ·50 = 1 / 2·48 - 1 /49   + 1 / 2 ·50 

suma = 1 /2  -1 /2  + 1 /2·2  -1 /49  + 1 /2·49 + 1 /2·50  , ceilalti se simplifica =0
suma = 1 /4   - 1 /2· 49  + 1 /2·50 = ( 49 ·50  - 2·50 + 2·49) / 4 ·49·50 =
          = ( 2450  - 100 + 98) / 4 · 49 ·50 = 2448  / 4 ·49 ·50 = 1224 / 4 · 49 ·25 
=306 / 49 · 25 
√suma = √306  / √49·√25 = 3√34 / 7 ·5  = 3√34 / 35
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!


Ze Questions: Alte intrebari