aceste sume mai sunt defapt progresii geometrice.
la fel ca si la cele aritmetice aici exista o ratie.
la progresii aritmetice(ratia reprezita diferenta dintre un termen fata de predecesorul)
la cele geometrice ( in cazul tau) , ratie reprezinta catul dintre un termen si predecesorul sau.
in exemplul tau ratia este 5. doarece 5^2 /5^1 =5 (cu precizarea ca ' ^ ' inseamna la puterea)
exista o metoda generala de rezolvarea acestor sume.
sa zicem ca ai o progresie
[tex] x^{1} + x^{2} +...+ x^{q} [/tex]
si o notam ca este egala cu S(de la suma)
adica avem
[tex]S=x^1 +x^2 +...+x^q[/tex]
acum inmultim atat in dreapta cat si in stanga cu x , acum avem:
[tex]x * S = x^2 +x^3+...+ x^q + x^{q+1} [/tex]
acum avem:
prima ecuatie
[tex]S=x^1 +x^2 +...+x^q[/tex]
si a doua ecuatie
[tex]x * S = x^2 +x^3+...+ x^q + x^{q+1} [/tex]
------------------------------------------------- trasam o linie si scadem din a doua prima, rezultatul fiind:
[tex]x * S -S = x^2 +x^3+...+ x^q + x^{q+1} -( x^1 +x^2+...+ x^q } )[/tex]
observi ca termenii se repeta , se reduc , iar la final ramane:
[tex] S(x-1)= x^{q+1} -x^{1}[/tex]
iar la final pentru a afla S, impartim prin (x-1), cu conditia ca x sa nu fie 1.
iar rezultatul este
[tex]S= \frac{x^{q+1}-x}{x-1} [/tex]
aceasta este formula progresiilor geometrice. (daca inlocuiesti x cu 5 iar q cu 15 se obtine exact problema ta.
