Răspuns :
problema ta se rezolva prin aproximarea la o suma telescopica.(denumire pompoasa, da)
o suma telescopica este de fapt o suma care poti aranja termeni astfel incat sa se reduca intre ei si sa ai un rezultat simplificat.
De ex, una din cele mai cunoscute sume telescopice este de forma :
1/2+ 1/6 +..+1/n*(n+1)
1/2 =1/1*2 si 1/2 =1/1 -1/2
1/6=1/2*3 =1/2 -1/3
....
1/n*(n+1) =1/n -1/n+1
cand le aduni observi ca o sa ai : 1/1 -1/2 +1/2 -1/3+1/3 +....+1/n -1/n+1, rezultatul fiind 1/1 - 1/n+1
revenind la problema ta, te folosesti exact de exemplul de mai sus.
1/2^2 <1/1*2
1/3^2 <1/2*3
.....................
1/2011^2<1/2010*2011
le adunam si o sa ai:
Notez suma ta cu S
S< 1/1*2+1/2*3+...+1/2010*2011=>
=> S<1/1 -1/2 +1/2 -1/3 +....+1/2010 -1/2011 ...se reduc termeni si ai
S<1/1 -1/2011 => S<2011/2011 -1/2011 => S<(2011-1)/2011
adica ce ai de aratat ca S<2010/2011
o suma telescopica este de fapt o suma care poti aranja termeni astfel incat sa se reduca intre ei si sa ai un rezultat simplificat.
De ex, una din cele mai cunoscute sume telescopice este de forma :
1/2+ 1/6 +..+1/n*(n+1)
1/2 =1/1*2 si 1/2 =1/1 -1/2
1/6=1/2*3 =1/2 -1/3
....
1/n*(n+1) =1/n -1/n+1
cand le aduni observi ca o sa ai : 1/1 -1/2 +1/2 -1/3+1/3 +....+1/n -1/n+1, rezultatul fiind 1/1 - 1/n+1
revenind la problema ta, te folosesti exact de exemplul de mai sus.
1/2^2 <1/1*2
1/3^2 <1/2*3
.....................
1/2011^2<1/2010*2011
le adunam si o sa ai:
Notez suma ta cu S
S< 1/1*2+1/2*3+...+1/2010*2011=>
=> S<1/1 -1/2 +1/2 -1/3 +....+1/2010 -1/2011 ...se reduc termeni si ai
S<1/1 -1/2011 => S<2011/2011 -1/2011 => S<(2011-1)/2011
adica ce ai de aratat ca S<2010/2011
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!