Răspuns :
a) adun cate 1 la fiecare termen, si deoarece merge din 2 in 2 pana la 2n+1 inseamna ca sunt n+1 termeni
exemplu pentru 1,3,5.....99 (49*2+1) sunt 50 de termeni deoarece 1,2,3,4...100 sunt 100 termeni iar sirul acela are doar nr impare, care sunt jumatate
deci adun n+1 si rezulta
2+4+6+8+.....2(n+1) +(n+1)
dau factor comun pe 2
2(1+2+3+4+....+(n+1)) +(n+1)
suma de la 1 la n este n(n+1)/2
2(n+1)(n+2)/2 +(n+1)=(n+1)(n+2)+(n+1)
dupa factor comun (n+1) rezulta
suma=(n+1)(n+2+1)
suma=(n+1)(n+3)
b)in cazul asta adun de asemenea cate 1 la fiecare, si in total sunt n termeni
(am facut verificare n=3 rezulta sirul 3+7+11 (3 termeni))
4+8+12+...+4n + n
dau factor comun pe 4
4(1+2+3+...n)+n
suma de la 1 la n
4*n*(n+1)/2 + n
2*n(n+1)+n=n(2n+2)+n
dupa factor comun n rezulta
suma=n(2n+2+1)
suma=n(2n+3)
c)in cazul sumei Sn=2x+(2x-3)+(2x-6)+...+(2x-3n+3)
sunt n termeni, am verficat pentru n=2, rezulta sirul 2x + (2x-3*2+3), adica 2 termeni pt n=2
deci daca desfac fiecare paranteza o sa rezulte
2x+2x-3+2x-6+.....+2x-3n+3
se observa ca 2x se repeta la fiecare termen (adica de n ori)
deci
suma=n*2x-3-6-.....-(3n-3) (este 3n-3 deoarece am dat factor comun pe -1 ca sa scriu in paranteza)
de la al 2-lea termen in colo dau factor comun pe -1 si rezulta
suma=2nx- (3+6+9+...+(3n-3))
suma2=3+6+9+....+(3n-3) (ultimul termen este 3(n-1))
dau factor comun pe 3 si rezulta
suma2=3(1+2+3+...(n-1))
suma2=3(n-1)n/2
inlocuiesc in suma si rezulta
suma=2nx- suma2
suma=2nx-3(n-1)n/2
aduc la acelasi numitor
suma=(4nx-3(n-1)n)/2
factor comun n
suma=(n(4x-3(n-1)))/2
exemplu pentru 1,3,5.....99 (49*2+1) sunt 50 de termeni deoarece 1,2,3,4...100 sunt 100 termeni iar sirul acela are doar nr impare, care sunt jumatate
deci adun n+1 si rezulta
2+4+6+8+.....2(n+1) +(n+1)
dau factor comun pe 2
2(1+2+3+4+....+(n+1)) +(n+1)
suma de la 1 la n este n(n+1)/2
2(n+1)(n+2)/2 +(n+1)=(n+1)(n+2)+(n+1)
dupa factor comun (n+1) rezulta
suma=(n+1)(n+2+1)
suma=(n+1)(n+3)
b)in cazul asta adun de asemenea cate 1 la fiecare, si in total sunt n termeni
(am facut verificare n=3 rezulta sirul 3+7+11 (3 termeni))
4+8+12+...+4n + n
dau factor comun pe 4
4(1+2+3+...n)+n
suma de la 1 la n
4*n*(n+1)/2 + n
2*n(n+1)+n=n(2n+2)+n
dupa factor comun n rezulta
suma=n(2n+2+1)
suma=n(2n+3)
c)in cazul sumei Sn=2x+(2x-3)+(2x-6)+...+(2x-3n+3)
sunt n termeni, am verficat pentru n=2, rezulta sirul 2x + (2x-3*2+3), adica 2 termeni pt n=2
deci daca desfac fiecare paranteza o sa rezulte
2x+2x-3+2x-6+.....+2x-3n+3
se observa ca 2x se repeta la fiecare termen (adica de n ori)
deci
suma=n*2x-3-6-.....-(3n-3) (este 3n-3 deoarece am dat factor comun pe -1 ca sa scriu in paranteza)
de la al 2-lea termen in colo dau factor comun pe -1 si rezulta
suma=2nx- (3+6+9+...+(3n-3))
suma2=3+6+9+....+(3n-3) (ultimul termen este 3(n-1))
dau factor comun pe 3 si rezulta
suma2=3(1+2+3+...(n-1))
suma2=3(n-1)n/2
inlocuiesc in suma si rezulta
suma=2nx- suma2
suma=2nx-3(n-1)n/2
aduc la acelasi numitor
suma=(4nx-3(n-1)n)/2
factor comun n
suma=(n(4x-3(n-1)))/2
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Studii sociale. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!