In stanga desfac paranteza si aranjez termenii, apoi aduc un doi din dreapta:
[tex]\dfrac{xy+yz+xz+x+y+z}{2} \leq 3\sqrt{xyz}\\ \\ \\ \dfrac{xy+z}{2}+\dfrac{yz+x}{2}+\dfrac{xz+y}{2} \leq \sqrt{(xy)z}+\sqrt{(yz)x}+\sqrt{(xz)y}[/tex]
In stanga avem 3 medii aritmetice, iar in dreapta 3 medii geometrice. Teoria sune ca m. aritmetica este mai mare sau egala cu m. geometrica. Egalitatea se intampla cand termanii sunt egali.
Acum, inegalitatea noastra e pe dos: in loc sa fie [tex] \geq [/tex], ea este [tex] \leq [/tex].
Singura posibilitate este ca toti termenii mediilor sa fie egali intre ei, astfel:
[tex]xy=z\\ yz=x\\ xz=y[/tex]
Inlocuind din a treia ijn prima, avem:
[tex]x^2z=z\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ x^2=1\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ x=\pm 1[/tex]
Pentru x=1, ecuatiile devin:
[tex]y=z\\ yz=1\\ z=y\\ \Rightarrow y=\pm 1[/tex]
................... etc, etc................
Impresia mea este ca o singura solutie e buna : [tex]x=y=z=1.[/tex]
