Aplicam formula lui Legendre.
In descompunerea în factori primi, un număr n este scris sub forma: n=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak.
Numărul de zerouri alea unui factorial este dat de apariția puterilor lui 5.
Notăm A_n(5) puterea la care apare 5 in descompunerea în factori primi.
Știm că A_n(5)=[n/p]+[n/p²]+...+[n/p^k].
Vom suma părțile întreg cat timp n>p^k, unde k este o putere. Daca n<p^k, atunci partea întreaga a numărului n/p^k este 0 și nu ne influențează calculul.
1) Ne ocupam de 5!
In cazul nostru, n este 5.
Observăm că 5¹=5 și 5²=25>5. Deci sunam până la 5¹.
A_5(5)=[5/5]=1.
2) Ne ocupam de 15!
In cazul nostru, n este 15.
Observăm că 5¹=5<15 și 5²=25>15. Deci sunam până la 5¹.
A_15(5)=[15/5]=3.
3) Ne ocupam de 25!
In cazul nostru, n este 25.
Observăm că 5²=25 și 5³=125>25. Deci sunam până la 5².
A_25(5)=[25/5]+[25/25]=5+1=6.
4) Ne ocupam de 35!
In cazul nostru, n este 35.
Observăm că 5²=25<35 și 5³=125>35. Deci sunam până la 5².
A_35(5)=[35/5]+[35/25]=7+1=8.
Finalizare.
Produsul celor patru factoriali se termina in 1+3+6+8=18 zerouri.
