Explicație pas cu pas:
Datele problemei
Să se calculeze opusul și inversul următoarelor numere complexe:
a) -2 - i ; b) 4 - 3i; c) √2 - √3i; d) 1 + i√3.
Observații:
Fie numărul complex z = a + bi, cu a, b ∈ R.
Opusul numărului complex z este numărul complex -z = - (a + bi).
Inversul numărului complex z este numărul complex [tex]z^{-1}[/tex]. Inversul se calculează amplificând raportul cu conjugatul lui z.
Conjugatul numărului complex z este numărul complex a - bi.
Alte formule utile:
[tex]z *\bar{z} = |z|^2\\\\|z| = \sqrt{a^2 + b^2}[/tex]
Rezolvare:
a) - 2 - i
opusul: - (- 2 - i) = 2 + i
inversul: [tex]\frac{1}{-2-i} =\frac{ {^{-2 + i)}} 1}{-2-i} = \frac{-2 + i}{2^2 + 1} =\frac{-2 + i}{5}[/tex]
b) 4 - 3i
opusul: - (4 - 3i) = -4 + 3i
inversul: [tex]\frac{1}{4 - 3i} = \frac{^{4+3i)}1}{4 - 3i} = \frac{4 + 3i}{4^2 + 3^2} = \frac{4 + 3i} {25}[/tex]
c) √2 - √3i
opusul: - (√2 - √3i) = -√2 + √3i
inversul: [tex]\frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}i } = \frac{^{\sqrt{2} + \sqrt{3}i)}1}{\sqrt{2} - \sqrt{3}i} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}i}{\sqrt{2}^2 + \sqrt{3} ^2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}i} {5}[/tex]
d) 1 + i√3
opusul: - (1 + i√3) = - 1 - i√3
inversul: [tex]\frac{1}{1 + i\sqrt{3} } = \frac{^{1 - i\sqrt{3})} 1}{1 + i\sqrt{3} } = \frac{1 - i\sqrt{3} }{1^2 + \sqrt{3}^2} = \frac{1 - i\sqrt{3} }{4}[/tex]
Succes!
