Răspuns :
Stim ca ultima cifra a unui patrat perfect poate fi doar 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.
Deci daca un nr are ultima cifra 2, 3, 7 sau 8 inseamna ca nu este patrat perfect.
Mai stim ca ultima cifra a puterilor lui 2 si 3 se repeta din 4 in 4 astfel:
U([tex] 2^{4n+1} [/tex])=2
U([tex] 2^{4n+2} [/tex])=4
U([tex] 2^{4n+3} [/tex])=8
U([tex] 2^{4n} [/tex])=6
U([tex] 3^{4n+1} [/tex])=3
U([tex] 3^{4n+2} [/tex])=9
U([tex] 3^{4n+3} [/tex])=7
U([tex] 3^{4n} [/tex])=1
si cum 42=4*10+2 este de forma 4n+2, iar 61=4*15+1 este de forma 4n+1, obtinem ca ultima cifra a numarului cautat:
U([tex] 2^{42}+3^{61} [/tex])=U([tex] 2^{42} [/tex])+U([tex] 3^{61} [/tex])=4+3=7
Dar cum un patrat perfect nu poate avea ultima cifra 7 inseamna ca numarul dat nu este patrat perfect.
(q.e.d.)
Deci daca un nr are ultima cifra 2, 3, 7 sau 8 inseamna ca nu este patrat perfect.
Mai stim ca ultima cifra a puterilor lui 2 si 3 se repeta din 4 in 4 astfel:
U([tex] 2^{4n+1} [/tex])=2
U([tex] 2^{4n+2} [/tex])=4
U([tex] 2^{4n+3} [/tex])=8
U([tex] 2^{4n} [/tex])=6
U([tex] 3^{4n+1} [/tex])=3
U([tex] 3^{4n+2} [/tex])=9
U([tex] 3^{4n+3} [/tex])=7
U([tex] 3^{4n} [/tex])=1
si cum 42=4*10+2 este de forma 4n+2, iar 61=4*15+1 este de forma 4n+1, obtinem ca ultima cifra a numarului cautat:
U([tex] 2^{42}+3^{61} [/tex])=U([tex] 2^{42} [/tex])+U([tex] 3^{61} [/tex])=4+3=7
Dar cum un patrat perfect nu poate avea ultima cifra 7 inseamna ca numarul dat nu este patrat perfect.
(q.e.d.)
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!