Voi aborda problema "de la sfarsit la inceput", adica voi prelucra ceea ce avem de demonstrat, pana voi ajunge la ceva adevarat:
[tex] \frac{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }{3} > ( \frac{a+b+c}{3} )^{2} [/tex]
[tex] \frac{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }{3} > \frac{ (a+b+c)^{2} }{9} [/tex]
[tex]3*(a^{2} + b^{2} + c^{2})> (a+b+c)^{2} [/tex]
Efectuam calculele in membrul drept:
[tex] 3*(a^{2} + b^{2} + c^{2})> a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2*(a*b + a*c + b*c) [/tex]
Scadem din ambii membri ([tex]a^{2} + b^{2} + c^{2}[/tex])
[tex] 2*(a^{2} + b^{2} + c^{2})> 2*(a*b + a*c + b*c) [/tex]
Folosim inegalitatile evidente:
[tex] (a-b)^{2} >0[/tex]
adica
[tex] a^{2} +b^{2} - 2*a*b >0[/tex]
si trecand in membrul drept 2*a*b obtinem:
[tex] a^{2} +b^{2} > 2*a*b[/tex] (rel 1)
Analog, din [tex] (a-c)^{2} >0[/tex] si [tex] (b-c)^{2} >0[/tex] obtinem:
[tex] a^{2} +c^{2} > 2*a*c[/tex] (rel 2)
respectiv:
[tex] b^{2} +c^{2} > 2*b*c[/tex] (rel 3)
Adunam membru cu membru relatiile (1), (2) si (3) si obtinem exact:
[tex]2*(a^{2} +b^{2} + c^{2})> 2*(a*b + a*c + b*c)[/tex]
(q.e.d.)
