Răspuns :
Adunand cele doua ecuatii ale sistemului din enunt obtinem:
( x^2 + 2*x*y + y^2 ) + ( x + y ) - 2 = 0
( x + y )^2 + ( x + y ) - 2 = 0 (1)
Fie z∈R a. i. x + y = z , atunci relatia (1) devine:
z^2 + z - 2 = 0
Δ = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 ⇒ Δ = 9 > 0 ⇒ z1,z2 ∈ R
z1 = ( -1 - √9 ) ÷ 2 ⇔ z1 = ( -1 - 3 ) ÷ 2 ⇔ z1 = ( - 4 ) ÷ 2 ⇒ z1 = - 2
z2 = ( -1 + √9 )÷ 2 ⇔ z2 = ( -1 +3 ) ÷ 2 ⇔ z2 = 2 ÷ 2 ⇒ z2 = 1
Asadar putem avea urmatoarele doua cazuri:
I) x + y = - 2 ⇒ y = - 2 - x
Din ecuatiile sistemului initial avem ca:
2*x*y + ( x + y ) = 0
Deducem astfel ca:
2*x*( - 2 - x ) - 2 = 0 (2)
Vom simplifica cu ( - 2 ) ambii membri ai relatiei (2) si obtinem:
x*( x + 2 ) + 1 = 0 ⇔ x^2 + 2*x + 1 = 0 ⇔ ( x + 1 )^2 = 0 ⇔ x +1 = 0 ⇒ x1 = -1
y = - 2 - x si x1 = -1 implica: y1 = -2 - ( - 1 ) = -2 + 1 ⇒ y1 = -1
De aici obtinem prima solutie a sistemului din enunt si anume ( -1, -1 )
II) x + y = 1 ⇒ y = 1 - x
La fel ca si in cazul I) de mai sus avem:
2*x*( 1 - x ) + 1 = 0 ⇒
1 + 2*x - 2*x^2 = 0 (3)
Pentru usurinta in calcul inmultim ambii membri ai relatiei de la (3) cu
( - 1 ) si avem ca:
2*x^2 - 2*x - 1 = 0
Δ = ( - 2 )^2 - 4*2*( - 1 ) = 4+8 ⇒ Δ = 12 > 0 ⇒ x2,x3 ∈ R
√Δ = √12 ⇒ √Δ = 2√3
x2 = [ - ( - 2 ) - √Δ ] ÷ ( 2 * 2 ) ⇔ x2 = ( 2 - 2√3 ) ÷ 4 ⇔
x2 = [ 2 * ( 1 - √3 ) ] ÷ 4 ⇒ x2 = ( 1 - √3 ) ÷ 2
x3 = [ - ( - 2 ) + √Δ ] ÷ ( 2 * 2 ) ⇔ x3 = ( 2 + 2√3 ) ÷ 4 ⇔
x3 = [ 2 * ( 1 + √3 ) ]÷ 4 ⇒ x3 = ( 1 + √3 ) ÷ 2
Pentru a-l calcula pe y avem ca:
y = 1 - x si x2 = ( 1 - √3 ) ÷ 2 , asadar:
y2 = 1 - [ ( 1 - √3 ) ÷ 2 ] ⇒ y2 = ( 1 + √3 ) ÷ 2
Cum y = 1 - x si x3 = ( 1 + √3 ) ÷ 2 , obtinem:
y3 = 1 - [ ( 1 + √3 ) ÷ 2 ] ⇒ y3 = ( 1 - √3 ) ÷ 2
In final obtinem ca solutia sistemului din enuntul problemei prezentate este multimea:
S = { ( -1 , -1 ); ( ( 1 - √3 )÷ 2 , ( 1 + √3 )÷2 ); ( ( 1 + √3 )÷2 , ( 1 - √3 )÷2 ) }
Sper sa fie completa rezolvarea.
BAFTA
( x^2 + 2*x*y + y^2 ) + ( x + y ) - 2 = 0
( x + y )^2 + ( x + y ) - 2 = 0 (1)
Fie z∈R a. i. x + y = z , atunci relatia (1) devine:
z^2 + z - 2 = 0
Δ = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 ⇒ Δ = 9 > 0 ⇒ z1,z2 ∈ R
z1 = ( -1 - √9 ) ÷ 2 ⇔ z1 = ( -1 - 3 ) ÷ 2 ⇔ z1 = ( - 4 ) ÷ 2 ⇒ z1 = - 2
z2 = ( -1 + √9 )÷ 2 ⇔ z2 = ( -1 +3 ) ÷ 2 ⇔ z2 = 2 ÷ 2 ⇒ z2 = 1
Asadar putem avea urmatoarele doua cazuri:
I) x + y = - 2 ⇒ y = - 2 - x
Din ecuatiile sistemului initial avem ca:
2*x*y + ( x + y ) = 0
Deducem astfel ca:
2*x*( - 2 - x ) - 2 = 0 (2)
Vom simplifica cu ( - 2 ) ambii membri ai relatiei (2) si obtinem:
x*( x + 2 ) + 1 = 0 ⇔ x^2 + 2*x + 1 = 0 ⇔ ( x + 1 )^2 = 0 ⇔ x +1 = 0 ⇒ x1 = -1
y = - 2 - x si x1 = -1 implica: y1 = -2 - ( - 1 ) = -2 + 1 ⇒ y1 = -1
De aici obtinem prima solutie a sistemului din enunt si anume ( -1, -1 )
II) x + y = 1 ⇒ y = 1 - x
La fel ca si in cazul I) de mai sus avem:
2*x*( 1 - x ) + 1 = 0 ⇒
1 + 2*x - 2*x^2 = 0 (3)
Pentru usurinta in calcul inmultim ambii membri ai relatiei de la (3) cu
( - 1 ) si avem ca:
2*x^2 - 2*x - 1 = 0
Δ = ( - 2 )^2 - 4*2*( - 1 ) = 4+8 ⇒ Δ = 12 > 0 ⇒ x2,x3 ∈ R
√Δ = √12 ⇒ √Δ = 2√3
x2 = [ - ( - 2 ) - √Δ ] ÷ ( 2 * 2 ) ⇔ x2 = ( 2 - 2√3 ) ÷ 4 ⇔
x2 = [ 2 * ( 1 - √3 ) ] ÷ 4 ⇒ x2 = ( 1 - √3 ) ÷ 2
x3 = [ - ( - 2 ) + √Δ ] ÷ ( 2 * 2 ) ⇔ x3 = ( 2 + 2√3 ) ÷ 4 ⇔
x3 = [ 2 * ( 1 + √3 ) ]÷ 4 ⇒ x3 = ( 1 + √3 ) ÷ 2
Pentru a-l calcula pe y avem ca:
y = 1 - x si x2 = ( 1 - √3 ) ÷ 2 , asadar:
y2 = 1 - [ ( 1 - √3 ) ÷ 2 ] ⇒ y2 = ( 1 + √3 ) ÷ 2
Cum y = 1 - x si x3 = ( 1 + √3 ) ÷ 2 , obtinem:
y3 = 1 - [ ( 1 + √3 ) ÷ 2 ] ⇒ y3 = ( 1 - √3 ) ÷ 2
In final obtinem ca solutia sistemului din enuntul problemei prezentate este multimea:
S = { ( -1 , -1 ); ( ( 1 - √3 )÷ 2 , ( 1 + √3 )÷2 ); ( ( 1 + √3 )÷2 , ( 1 - √3 )÷2 ) }
Sper sa fie completa rezolvarea.
BAFTA
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!