Notam cu a=AB=AC (din ΔABC isoscel )
MN perpendicular pe AB si AC perpendicular pe AB, deci MN || AC.
MP perpendicular pe AAC si AB perpendicular pe AC, deci MP || AB.
Deci MNAP este paralelogram (cu unghiurile de 90 grade, deci este si dreptunghi) si deci MP≡AN, respectiv MN≡AP.
Din MN || AC avem triunghiurile asemenea: ΔBMN≈ΔBCA, deci avem rapoartele de asemanare:
[tex] \frac{MN}{AC} = \frac{BN}{AB} [/tex], adica:
[tex] \frac{MN}{a} = \frac{a-MP}{a} [/tex], de unde rezulta:
MN*a=a*(a-MP)
MN*a=a*a-a*MP
MN*a+a*MP=a*a
a(MN+MP)=a*a si impartind cu a ambii membri obtinem:
MN+MP=a=constant
