Răspuns :
A=[tex] 1^{2014n} [/tex]+[tex] 2^{2014n} [/tex]+[tex] 3^{2014n} [/tex]+ ... +[tex] 2014^{2014n} [/tex]
Calculam ultima cifra a lui A.
Daca neste numar impar, adica n=2p+1, cu p nr nat, atunci:
2014=4*503+2, deci
2014n=(4*503+2)(2p+1)=4*503*2p+4*503+4p+2=M4+2 este de forma 4k+2 si calculam ultima cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere de forma 4k+2.
U([tex] 1^{4k+2} [/tex])=1
U([tex] 2^{4k+2} [/tex])=4
U([tex] 3^{4k+2} [/tex])=9
U([tex] 4^{4k+2} [/tex])=6
U([tex] 5^{4k+2} [/tex])=5
U([tex] 6^{4k+2} [/tex])=6
U([tex] 7^{4k+2} [/tex])=9
U([tex] 8^{4k+2} [/tex])=4
U([tex] 9^{4k+2} [/tex])=1
U([tex] 10^{4k+2} [/tex])=0
Cum 2014=10*201+4 inseamna ca
U(A)=U( [201(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+1+4+9+6] )=
=U(U( 201)*U(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+U(1+4+9+6))=U(5+0)=5, deci A este multiplu de 5 pentru orice n nr natural nenul impar.
Daca n este nr nat par, adica n=2p, cu p nr nat nenul, atunci
2014n=2014*2p=4*1007p=M4 si calculam ultim cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere egala cu multiplu de 4:
U([tex] 1^{4k} [/tex])=1
U([tex] 2^{4k} [/tex])=6
U([tex] 3^{4k} [/tex])=1
U([tex] 4^{4k} [/tex])=6
U([tex] 5^{4k} [/tex])=5
U([tex] 6^{4k} [/tex])=6
U([tex] 7^{4k} [/tex])=1
U([tex] 8^{4k} [/tex])=6
U([tex] 9^{4k} [/tex])=1
U([tex] 10^{4k} [/tex])=0
U(A)=U( [201(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6] )=
=U(U( 201)*U(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+U(1+6+1+6))=U(1*3+14)=7, deci A NU este multiplu de 5, oricare ar fi n nr natural nenul par.
Calculam ultima cifra a lui A.
Daca neste numar impar, adica n=2p+1, cu p nr nat, atunci:
2014=4*503+2, deci
2014n=(4*503+2)(2p+1)=4*503*2p+4*503+4p+2=M4+2 este de forma 4k+2 si calculam ultima cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere de forma 4k+2.
U([tex] 1^{4k+2} [/tex])=1
U([tex] 2^{4k+2} [/tex])=4
U([tex] 3^{4k+2} [/tex])=9
U([tex] 4^{4k+2} [/tex])=6
U([tex] 5^{4k+2} [/tex])=5
U([tex] 6^{4k+2} [/tex])=6
U([tex] 7^{4k+2} [/tex])=9
U([tex] 8^{4k+2} [/tex])=4
U([tex] 9^{4k+2} [/tex])=1
U([tex] 10^{4k+2} [/tex])=0
Cum 2014=10*201+4 inseamna ca
U(A)=U( [201(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+1+4+9+6] )=
=U(U( 201)*U(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+U(1+4+9+6))=U(5+0)=5, deci A este multiplu de 5 pentru orice n nr natural nenul impar.
Daca n este nr nat par, adica n=2p, cu p nr nat nenul, atunci
2014n=2014*2p=4*1007p=M4 si calculam ultim cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere egala cu multiplu de 4:
U([tex] 1^{4k} [/tex])=1
U([tex] 2^{4k} [/tex])=6
U([tex] 3^{4k} [/tex])=1
U([tex] 4^{4k} [/tex])=6
U([tex] 5^{4k} [/tex])=5
U([tex] 6^{4k} [/tex])=6
U([tex] 7^{4k} [/tex])=1
U([tex] 8^{4k} [/tex])=6
U([tex] 9^{4k} [/tex])=1
U([tex] 10^{4k} [/tex])=0
U(A)=U( [201(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6] )=
=U(U( 201)*U(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+U(1+6+1+6))=U(1*3+14)=7, deci A NU este multiplu de 5, oricare ar fi n nr natural nenul par.
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!