Sa observam pentru inceput ca x trebuie sa fie cel putin egal cu 2012 (in caz contrar, cel de-al doilea radical nu ar fi definit). Deci practic, putem spune ca x este natural.
Deoarece [tex] \sqrt{x+2012}~si~ \sqrt{x-2012} [/tex] sunt naturale, rezulta ca exista doua numere naturale a si b, astfel incat [tex] \sqrt{x+2012} =a~si~ \sqrt{x-2012}=b. [/tex]
Prin ridicari succesive la patrat, obtinem:
[tex] a^{2} =x+2012 \\ b^{2}=x-2012. [/tex]
[tex] a^{2}- b^{2}=(a+b)(a-b) \\ a^{2} - b^{2} =(x+2012)-(x-2012)=4024. \\ Asadar,~(a+b)(a-b)=4024. [/tex]
Avem 4024=1*4024=2*2012=4*1006=8*503.
Numerele a si b fiind naturale, rezulta ca (a+b)>(a-b). Mai mult, (a+b) si (a-b) au aceeasi paritate, si cum produsul lor este par, atunci si ele trebuie sa fie pare.
Convin urmatoarele cazuri:
[tex] \left \{ {{a+b=2012} \atop {a-b=2}} \right. ~si~ \left \{ {{a+b=1006} \atop {a-b=4}} \right. .[/tex]
Adunand relatiile din fiecare sistem, obtinem:
La primul sistem: 2a=2014 => a=1007 => b=1005.
La al doilea sistem: 2a=1010 => a=505 =>b=501.
Pentru a=1007, avem [tex] x+2012=1007^{2} =>x=1012037.[/tex]
Pentru a=505, avem [tex]x+2012= 505^{2} =>x=253013.[/tex]
Solutie: x∈{253013 ; 1012037}.
