Salutare!
Ce este o funcție de gradul al doilea?
O funcție de forma f : R ⇒ R, f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c ∈ R sunt constante cu a ≠ 0 se numește funcție de gradul al doilea. Constantele reale a, b, c se numesc coeficienții funcției, a se mai numește coeficient dominant iar c termenul liber.
Forma canonică a funcției de gradul al doilea:
[tex]\boxed{f(x)=a\times(x + \frac{b}{2a})^{2}+\frac{-delta}{4a}}[/tex]
- Se determină coeficienții funcției.
- Se calculează Δ (delta).
- Se află valoarea minimă.
- Se află valoarea maximă.
- Se scrie funcția sub forma relației de mai sus.
Rezolvare:
Punctul a)
f : R ⇒ R
f(x) = 2x² - 4x + 5 ⇒ a = 2, b = -4, c = 5
Δ = b² - 4ac = 16 - 8 × 5 = 16 - 40 = -24
valoarea minimă = [tex]\frac{b}{2a}[/tex] = [tex]\frac{-4}{4}[/tex] = 1
valoarea maximă = [tex]\frac{-delta}{4a}[/tex] = [tex]\frac{24}{8}[/tex] = 3
[tex]\displaystyle{f(x)=a\times(x + \frac{b}{2a})^{2}+\frac{-delta}{4a}}[/tex]
f(x) = 2 × (x - 1)² + 3
Punctul b)
f : R ⇒ R
f(x) = -3x² - 8x + 11 ⇒ a = -3, b = -8, c = 11
Δ = b² - 4ac = 64 + 12 × 11 = 64 + 132 = 196
valoarea minimă = [tex]\frac{b}{2a}[/tex] = [tex]\frac{-8}{-6}[/tex] = [tex]\frac{4}{3}[/tex]
valoarea maximă = [tex]\frac{-delta}{4a}[/tex] = [tex]\frac{-196}{-12}[/tex] = [tex]\frac{49}{3}[/tex]
[tex]\displaystyle{f(x)=a\times(x + \frac{b}{2a})^{2}+\frac{-delta}{4a}}[/tex]
f(x) = -3 × (x + [tex]\frac{4}{3}[/tex])² + [tex]\frac{49}{3}[/tex]
Punctul c)
f : R ⇒ R
f(x) = -7x² + 8 ⇒ a = -7, b = 0, c = 8
Δ = b² - 4ac = 28 × 8 = 224
valoarea minimă = [tex]\frac{b}{2a}[/tex] = 0
valoarea maximă = [tex]\frac{-delta}{4a}[/tex] = [tex]\frac{-224}{-28}[/tex] = 8
[tex]\displaystyle{f(x)=a\times(x + \frac{b}{2a})^{2}+\frac{-delta}{4a}}[/tex]
f(x) = -7 × (x + 0)² + 8
- Deci practic forma canonică a acestei funcții este cam aceeași cu funcția în sine.
Punctul d)
f : R ⇒ R
f(x) = 4x² - 5x ⇒ a = 4, b = -5, c = 0
Δ = b² - 4ac = 25 - 0 = 25
valoarea minimă = [tex]\frac{b}{2a}[/tex] = [tex]\frac{-5}{8}[/tex] (putem să o lăsăm așa sau să o transformăm în fracție zecimală)
valorea maximă = [tex]\frac{-delta}{4a}[/tex] = [tex]\frac{-25}{16}[/tex] (este valabil același lucru ca mai sus)
[tex]\displaystyle{f(x)=a\times(x + \frac{b}{2a})^{2}+\frac{-delta}{4a}}[/tex]
f(x) = 4 × (x + [tex]\frac{-5}{8}[/tex])² + [tex]\frac{-25}{16}[/tex]
- Lumberjack25
