Integrăm prin părți, cu notația:
[tex]f(x)=arctgx; f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}[/tex]
[tex]g'(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^2};\ \ g(x)=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}[/tex] și obținem:
[tex]I=\displaystyle\int\dfrac{xarctgx}{(1+x^2)^2}dx=-\dfrac{arctgx}{2(1+x^2)}+\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{1}{(1+x^2)^2}dx[/tex]
Notăm ultima integrală cu J și o calculăm astfel:
[tex]J=\displaystyle\int\dfrac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^2}dx=\displaystyle\int\left(1-\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\right)dx=x-K[/tex]
Pe integrala K o calculăm astfel:
[tex]K=\displaystyle\int\dfrac{x\cdot x}{(1+x^2)^2}dx=-\dfrac{x}{2(1+x^2)}+\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^2}dx[/tex]
Aici am folosit integrarea prin părți, cu notația:
[tex]f(x)=x;\ \ f'(x)=1[/tex]
[tex]g'(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^2};\ \g(x)=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}[/tex]
Cu indicațiile acestea s-a cam terminat de calculat. OK?
