Răspuns :
Problema 1
Fie numarul de forma SZU
S,Z,U - cifre; S,Z,U∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; S ≠ 0
Z = 2 · U ⇒ Z∈ {0,2,4,6,8} ⇒ U ∈ {0,1,2,3,4}
Enuntul problemei NU precizeaza ca numerele au cifrele distincte sau diferite doua cate doua. Pentru a gasi toate numerele vom analiza ce valoare poate avea U
- U = 0 ⇒ Z = 2·0 ⇒ Z = 0
SZU ∈ {100,200,300,400,500,600,700,800,900}
- U = 1 ⇒ Z = 2·1 ⇒ Z = 2
SZU ∈ {121,221,321,421,521,621,721,821,921}
- U = 2 ⇒ Z = 2·2 ⇒ Z = 4
SZU ∈ {142,242,342,442,542,642,742,842,942}
- U = 3 ⇒ Z = 2·3 ⇒ Z = 6
SZU ∈ {163,263,363,463,563,663,763,863,963}
- U = 4 ⇒ Z = 2·4 ⇒ Z = 8
SZU ∈ {184,284,384,484,584,684,784,884,984}
Din cazurile analizate rezulta ca avem 45 de numere care respecta cerinta problemei: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 121, 221, 321, 421, 521, 621, 721, 821, 921, 142, 242, 342, 442, 542, 642, 742, 842, 942, 163, 263, 363, 463, 563, 663, 763, 863, 963, 184, 284, 384, 484, 584, 684, 784, 884, 984
==========================================
Problema 2
Fie abcd numerele naturale de patru cifre cautate
a,b,c,d - cifre; a,b,c,d∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ; a ≠ 0
a+b+c+d = 9
Enuntul problemei NU precizeaza ca numerele au cifrele distincte sau diferite doua cate doua. Pentru a gasi toate numerele trebuie sa analizam ce valoare poate avea a (9 cazuri) apoi ce valoare poate lua b
- a = 1 ⇒ b+c+d =8
b = 0 ⇒ c+d=8 ⇒ cd∈{08,80,17,71,62,26,35,53,44}
abcd ∈ {1008,1080,1017,1071,1062,1026,1035,1053,1044} -9 nr
b = 1⇒c+d=7⇒cd∈{07,70,16,61,25,52,34,43}
abcd∈{1107, 1170, 1116, 1161, 1125, 1152, 1134, 1143} -8 nr
b = 2⇒c+d=6⇒cd∈{06,60,15,51,24,42,33}
abcd∈{1206, 1260, 1251, 1215, 1224, 1242, 1233} -7 nr
b = 3⇒c+d=5⇒cd∈{05,50,41,14,23,32}
abcd∈{1305,1350,1314,1341,1323,1332} -6 nr
b = 4⇒c+d=4⇒cd∈{04,40,13,31,22}⇒abcd∈{1404,1440,1413,1431,1422} -5 nr
b = 5⇒c+d=3⇒ cd∈{03,30,12,21}⇒abcd∈{1503,1530,1512,1521} -4 nr
b = 6 ⇒c+d=2⇒ cd∈{02,20,11}⇒abcd∈{1602,1620,1611} -3 nr
b = 7 ⇒c+d=1⇒ cd∈{01,10}⇒abcd∈{1701,1710} -2 nr
b = 7⇒c+d=0⇒cd=00 ⇒ abcd = 1800 -1 nr
- a = 2 ⇒ b+c+d =7
b = 0 ⇒c+d=7⇒cd∈{07,70,16,61,25,52,34,43}
abcd∈{2007,2070,2016,2061,2025,2052,2034,2043} -8 nr
b = 1⇒c+d=6⇒cd∈{06,60,15,51,24,42,33}
abcd∈{2106, 2160, 2151, 2115, 2124, 2142, 2133} -7 nr
b = 2⇒c+d=5⇒cd∈{05,50,41,14,23,32}
abcd∈{2205, 2250, 2214, 2241, 2223, 2232} -6 nr
b = 3⇒c+d=4⇒cd∈{04,40,13,31,22}⇒abcd∈{2304,2340,2313,2331,2322}
b = 4⇒c+d=3⇒cd∈{03,30,12,21}⇒abcd∈{2403,2430,2412,2421} -4 nr
b = 5⇒c+d=2⇒cd∈{02,20,11}⇒abcd∈{2502,2520,2511} -3 nr
b = 6⇒c+d=1⇒cd∈{01,10}⇒abcd∈{2601,2610} -2 nr
b = 7⇒c+d=0⇒cd=00 ⇒ abcd = 2700 -1 nr
- a = 3 ⇒ b+c+d =6
b = 0 ⇒c+d=6⇒cd∈{06,60,15,51,24,42,33}
abcd∈{3006,3060,3015,3051,3024,3042,3033} -7 nr
b = 1⇒c+d=5⇒cd∈{05,50,41,14,23,32}
abcd∈{3105,3150,3141,3114,3123,3132} -6 nr
b = 2⇒c+d=4⇒cd∈{04,40,13,31,22}⇒abcd∈{3204,3240,3213,3231,3222}
b = 3⇒c+d=3⇒cd∈{03,30,12,21}⇒abcd∈{3303,3330,3312,3321} -4 nr
b = 4⇒c+d=2⇒cd∈{02,20,11}⇒abcd∈{3402,3420,3411} -3 nr
b = 5⇒c+d=1⇒cd∈{01,10}⇒abcd∈{3501,3510} -2 nr
b = 6⇒c+d=0⇒cd=00 ⇒ abcd = 3600 -1 nr
- a = 4 ⇒ b+c+d =5
b = 0⇒c+d=5⇒cd∈{05,50,41,14,23,32}
abcd∈{4005,4050,4014,4041,4023,4032} -6 nr
b = 1⇒c+d=4⇒cd∈{04,40,13,31,22}⇒abcd∈{4104,4140,4113,4131,4122}
b = 2⇒c+d=3⇒cd∈{03,30,12,21}⇒abcd∈{4203,4230,4212,4221} -4 nr
b = 3⇒c+d=2⇒cd∈{02,20,11}⇒abcd∈{4302,4320,4311} -3 nr
b = 4⇒c+d=1⇒cd∈{01,10}⇒abcd∈{4401,4410} -2 nr
b = 5⇒c+d=0⇒cd=00 ⇒ abcd = 4500 -1 nr
- a = 5 ⇒ b+c+d =4
b = 0⇒c+d=4⇒cd∈{04,40,13,31,22}⇒abcd∈{5040,5004,5013,5031,5022}
b = 1⇒c+d=3⇒cd∈{03,30,12,21}⇒abcd∈{5103,5130,5112,5121} -4 nr
b = 2⇒c+d=2⇒cd∈{02,20,11}⇒abcd∈{5202,5220,5211} -3 nr
b = 3⇒c+d=1⇒cd∈{01,10}⇒abcd∈{5301,5310} -2 nr
b = 4⇒c+d=0⇒cd=00 ⇒ abcd = 5400 -1 nr
- a = 6 ⇒ b+c+d =3
b = 0⇒c+d=3⇒cd∈{03,30,12,21}⇒abcd∈{6003,6030,6012,6021} -4 nr
b = 1⇒c+d=2⇒cd∈{02,20,11}⇒abcd∈{6102,6120,6111} -3 nr
b = 2⇒c+d=1⇒cd∈{01,10}⇒abcd∈{6201,6210} -2 nr
b = 3⇒c+d=0⇒cd=00 ⇒ abcd = 6300 -1 nr
- a = 7 ⇒ b+c+d=2
b = 0⇒c+d=2⇒cd∈{02,20,11}⇒abcd∈{7002,7020,7011} -3 nr
b = 1⇒c+d=1⇒cd∈{01,10}⇒abcd∈{7101,7110} -2 nr
b = 2⇒c+d=0⇒cd=00 ⇒ abcd = 7200 -1 nr
- a = 8 ⇒ b+c+d=1
b = 0⇒c+d=1⇒cd∈{01,10}⇒abcd∈{8001,8010} -2 nr
b = 1⇒c+d=0⇒cd=00 ⇒ abcd = 8100 -1 nr
- a = 9 ⇒ b+c+d = 0
b = 0⇒c+d=0⇒cd=00 ⇒ abcd = 9000 -1 nr
Vei observa că în funcție de ce valori ia a avem un anumit număr de numere ce respectă cerințele problemei:
a = 1 avem 45 numere;
a = 2 avem 36 numere;
a=3 avem 28 numere;
a = 4 avem 21 numere;
a = 5 avem 15 numere;
a = 6 avem 10 numere;
a = 7 avem 6 numere;
a = 8 avem 3 numere;
a = 9 avem 1 număr
Total numere: 45+36+28+21+15+10+6+3+1 = 165 de numere de patru cifre care au suma cifrelor 9
=====================================
Problema 3
Notam cu:
a - primul numar
a + 1 - al doilea numar
a + 2 - al treilea numar
a + a + 1 + a + 2 = 558
3a + 3 = 558
3a = 558 - 3
3a = 555
a = 555 : 3
a = 185 primul numar
a + 1 = 185 + 1 = 186 al doilea numar
a + 2 = 185 + 2 = 187 al treilea numar
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!