Răspuns :
[tex]f(x)=x^3+x^2+mx+m[/tex]
Din teorema lui Bezout, daca f se divide cu x+1 inseamna ca -1 este solutie a polinomului, adica
[tex]f(-1)=0[/tex]
Verificam
[tex]f(-1)=(-1)^3+(-1)^2+m(-1)+m=-1+1-m+m=0[/tex]
Am demonstrat ca -1 este solutie deci polinomul se divide cu x+1.
Pentru partea a doua screim primele 2 relatii ale lui Viette:
[tex]S_1=x_1+x_2+x_3=-1[/tex]
[tex]S_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m[/tex]
Pentru a calcula [tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2[/tex]
vom calcula [tex]S_1^2-2S_2[/tex]
adica
[tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2 =(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)[/tex]
Deci [tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2=-1-2m[/tex]
Problema ne impune ca [tex]-1-2m=11[/tex] deci [tex]m=-6[/tex]
Din teorema lui Bezout, daca f se divide cu x+1 inseamna ca -1 este solutie a polinomului, adica
[tex]f(-1)=0[/tex]
Verificam
[tex]f(-1)=(-1)^3+(-1)^2+m(-1)+m=-1+1-m+m=0[/tex]
Am demonstrat ca -1 este solutie deci polinomul se divide cu x+1.
Pentru partea a doua screim primele 2 relatii ale lui Viette:
[tex]S_1=x_1+x_2+x_3=-1[/tex]
[tex]S_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m[/tex]
Pentru a calcula [tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2[/tex]
vom calcula [tex]S_1^2-2S_2[/tex]
adica
[tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2 =(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)[/tex]
Deci [tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2=-1-2m[/tex]
Problema ne impune ca [tex]-1-2m=11[/tex] deci [tex]m=-6[/tex]
Vă mulțumim că ați ales să vizitați platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau aveți nevoie de ajutor, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și vă încurajăm să ne salvați în lista de favorite!